Barisan dan Deret

Hai Semuanya yang ingin mempelajari Pelajaran Barisan Dan Deret, Kali ini Admin Akan Mengajarkan kepada kalian semua

A. Pola Barisan Bilangan

Barisan bilangan merupakan urutan bilangan-bilangan menurut aturan tertentu. Terdapat beberapa jenis pola pada barisan bilangan, yaitu:

1. Pola Barisan Segitiga (1, 3, 6, 10, ...)

$ \text{U}_n = \frac{1}{2}n(n+1) $
$ \text{S}_n = \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) $

2. Pola Barisan Persegi (1, 4, 9, 25, ...)

$ \text{U}_n = n^2 $
$ \text{S}_n = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $

3. Pola Barisan Kubik (1, 8, 27, 64, ...)

$ \text{U}_n = n^3 $
$ \text{S}_n = \frac{1}{4}n^2 (n+1)^2 $

4. Pola Barisan Persegi Panjang (2, 6, 12, 20, ...)

$ \text{U}_n = n(n+1) $
$ \text{S}_n = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2) $

5. Pola Barisan Bilangan Genap (2, 4, 6, 8, ...)

$ \text{U}_n = 2n $
$ \text{S}_n = n^2 + n $

6. Pola Barisan Bilangan Ganjil (1, 3, 5, 7, ...)

$ \text{U}_n = 2n - 1 $
$ \text{S}_n = n^2 $

7. Pola Barisan Bilangan Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...)

$ \text{U}_n = \text{U}_{n-1} + \text{U}_{n-2} $

B. Barisan dan Deret

1. Barisan dan Deret Aritmetika

    A. Barisan Aritmetika

    Barisan aritmetika ada banyak tingkat, disini saya akan membahas semuanya.

    A.1. Barisan Aritmetika Tingkat I
    Barisan Aritmetika Tingkat I adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih

    yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan.

    Diberikan barisan aritmetika $ \text{U}_1, \text{U}_2, \text{U}_3, ...,  \text{U}_n $
    Rumus suku ke-n pada barisan aritmetika diatas adalah

$ \text{U}_n = a + (n - 1)b $

Keterangan:
$ \text{U}_n = \text{suku ke}-n $
$ a = \text{suku pertama} $
$ b = \text{beda atau selisih dua suku berurutan} $.

    

Terdapat juga rumus untuk mencari suku tengah barisan aritmetika, yaitu sebagai berikut:

$ \text{U}_t = \frac{a + \text{U}_n}{2} $

Keterangan:
$ \text{U}_t = \text{suku tengah barisan tersebut} $
$ \text{U}_n = \text{suku ke}-n $
$ a = \text{suku pertama} $
$ \text{dengan} \, n \, \text{merupakan bilangan ganjil} $.

    A.2 Barisan Aritmetika Tingkat II 

    Barisan aritmetika tingkat II merupakan suatu barisan aritmetika tetapi membutuhkan

    2 tingkat untuk mendapatkan selisih atau beda tiap suku yang tetap. Oleh karena itu,

    barisan aritmetika tingkat II berbeda rumusnya dengan tingkat I.

    Misal kita punya sebuah pola barisan segitiga:

    $ 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , ...$

    Sekarang kita bikin seperti berikut:

    Rumusnya sebagai berikut:

$ \text{U}_n = An^2 + Bn + C $

Keterangan:
$ \text{U}_n = \text{suku ke}-n $

Rumus:
$ 2A = c $
$ 3A + B = b $
$ A + B + C = a $.

    Mari kita coba mencari rumus suku ke-n pada kasus diatas!

    1) Coba kita cari nilai $ a , b , c $ dulu

    Kita akan mendapatkan nilai $ a = 1 , b = 2 , c = 1 $ (Lihat gambar diatas!)

    2) Selanjutnya kita coba cari nilai $ A $ dari persamaan berikut.

    $ 2A = c $

    $ 2A = 1 $

    $ A = 1/2 $

    3) Kemudian kita cari nilai $ B $ dari persamaan berikut.

    $ 3A + B = b $

    $ 3(\frac{1}{2}) + B = 2 $

    $ \frac{3}{2} + B = 2 $

    $ B = 2 - \frac{3}{2} $

    $ B = \frac{1}{2} $

    4) Terakhir, kita coba cari nilai $ C $ dari persamaan berikut.

    $ A + B + C = a $

    $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C = 1 $

    $ 1 + C = 1 $

    $ C = 0 $

    5) Masukkan nilai $ A, B, $ dan $ C $ yang sudah kita dapat ke rumus $ \text{U}_n $.

    $ \text{U}_ n = \text{A}n^2 + \text{B}n + C $

    $ \text{U}_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n + 0 $

    $ \text{U}_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n $

    $ \boxed{\text{U}_n = \frac{1}{2}n(n + 1)} $

    Demikian cara untuk mencari rumus suku ke-n dari barisan aritmetika tingkat II.

    Selanjutnya kita akan belajar mengenai deret aritmetika.

B. Deret Aritmetika

    Dibawah ini merupakan bentuk umum deret aritmetika:

    $ \text{S}_n = \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3  \, + \, ... + \, \text{U}_n $

B.1 Deret Aritmetika Tingkat I

    Deret Aritmetika tingkat I adalah penjumlahan semua suku dari barisan aritmetika

    tingkat I.

    

    Deret aritmetika tingkat I mempunyai rumus sebagai berikut :

    

$ \text{S}_n = \frac{n(a + \text{U}_n)}{2} $
$ \text{S}_n = \frac{n(2a + (n-1)b)}{2} $

Keterangan:
$ \text{S}_n = \text{Jumlah} \, \, n \, \, \text{suku pertama deret aritmetika} $
$ \text{U}_n = \text{suku ke}-n $
$ a = \text{suku pertama} $
$ b = \text{beda atau selisih tiap dua suku berurutan} $.

2. Barisan dan Deret Geometri

A. Barisan Geometri

     Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio (perbandingan) tetap

     antara dua suku yang berurutan.

     Diberikan barisan geometri $ \text{U}_1, \text{U}_2, \text{U}_3, ..., \text{U}_n $    

     Maka rumus suku ke-n pada barisan geometri :

$ \text{U}_n = ar^{n-1} $

Keterangan:
$ \text{U}_n = \text{suku ke}-n $
$ a = \text{suku pertama} $
$ r = \text{rasio tiap dua suku berurutan} $.

     Kemudian ada juga rumus untuk mencari suku tengah dari barisan geometri, yaitu:

$ \text{U}_t = \sqrt{a + \text{U}_n} $

Keterangan:
$ \text{U}_t = \text{suku tengah} $
$ \text{U}_n = \text{suku ke}-n $
$ a = \text{suku pertama} $.

B. Deret Geometri

     Deret Geometri adalah penjumlahan semua suku dari barisan geometri.

     Dibawah ini merupakan bentuk umum deret geometri:

    $ \, \text{S}_n = \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3  \, + \, ... + \, \text{U}_n $

     Deret geometri mempunyai rumus sebagai berikut :

$ \text{S}_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \, \, \text{dengan} \, \, r < 1$
$ \text{S}_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \, \, \text{dengan} \, \, r > 1 $

Keterangan:
$ \text{S}_n = \text{jumlah} \, \, n \, \, \text{suku pertama deret geometri} $
$ a = \text{suku pertama} $
$ r = \text{rasio tiap dua suku berurutan} $.

Contoh Soal & Pembahasan 

1. Jumlah 10 suku pertama dari barisan bilangan $ 1, 3, 5, 7, ... $ adalah ...
25
36
48
81
100

Perhatikan bahwa itu merupakan barisan bilangan ganjil. Maka:
$ \text{S}_n = n^2 $
$ \text{S}_{10} = 10^2 $
$ \text{S}_{10} = 100 $
Kunci Jawaban: E

[UN SMP/MTS Tahun 2008]
2. $ \text{Suku ke}-22 \, \, \text{dari barisan} \, \, 99, 93, 87, 81, ... \, \, \text{adalah} ... $
-27
-21
-15
-9

Perhatikan bahwa itu merupakan barisan bilangan aritmetika. Maka:
$ \text{U}_n = a + (n-1)b $
$ \text{U}_{22} = 99 + (22-1)(-6) $
$ \text{U}_{22} = -27 $
Kunci Jawaban: A

[UN SMP/MTS Tahun 2011]
3. $ \text{Diketahui} \, \, \text{U}_n = 2n^2 - 5. \text{Nilai dari} \, \, \text{U}_4 + \text{U}_5 \, \, \text{adalah} ... $
154
82
72
26

$ \text{substitusi} \, \, n \, \, \text{maka kita dapat:} $
$ \text{U}_n = 2n^2 - 5 $
$ \text{U}_{4} = 2(4)^2 - 5 = 27 $
$ \text{U}_{5} = 2(5)^2 - 5 = 45 $
$ \text{U}_4 + \text{U}_5 = 72 $
Kunci Jawaban: C

Saya akan memberikan Latihan Soal, silahkan bagi yang ingin menjawab bisa menjawab dikolom komentar (Sertakan Langkah pengerjaannya juga yah). Jika jawabannya salah saya akan koreksi, jika benar saya akan Klaim bahwa itu sudah benar.

LATIHAN SOAL
Petunjuk: Jumlah poin untuk lanjut ke sesi berikutnya adalah 7 poin

---

1. Diketahui barisan aritmatika dengan $ \text{U}_n = 4n + 10 $. Berapakah jumlah 10 suku pertama dari barisan tersebut?
60
120
160
230
320
2. Diketahui suatu barisan dengan $ \text{U}_n = 4 \times 3^{n - 1} $. Dengan syarat n ε {1,2,3,4,5}. Berapakah nilai suku tengah barisan tersebut?
4
12
18
36
108
3. Diketahui suatu barisan geometri memenuhi persamaan  $ \frac{\text{U}_6}{\text{U}_4} = 16 $. Jika diketahui hasil dari suku pertama yang dikuadratkan akan sama dengan rasio dari barisan tersebut, maka jumlah 3 suku pertama dari barisan tersebut adalah ...
2
8
10
32
42
4. Erik Catos Lawijaya merupakan seorang ilmuwan yang sedang mengembangkan riset mengenai vaksin COVID-19. Ia meneliti bahwa virus tersebut dapat bereplikasi menjadi 2 setiap 20 menit dan jika mula-mula terdapat 5 virus, maka banyak virus setelah 2 jam adalah ...
32
64
160
320
340
5. Diketahui 3 suku pertama dari sebuah barisan aritmatika memenuhi kriteria jumlah ketiga suku tersebut sama dengan 84 dan hasil penjumlahan kuadrat tiap suku adalah 2402. Maka berapakah nilai dari ketiga suku tersebut secara berurutan?
27,28,29
26,28,30
25,28,31
24,28,32
23,28,33
6. Erik Catos Lawijaya adalah seorang mahasiswa kedokteran. Ia sedang membereskan kamarnya dan mulai menumpukkan buku kedokteran yang super tebal satu persatu. Jika diketahui tinggi buku pertama adalah 5 cm dan ketika ditumpuk oleh buku lain satu persatu tingginya bertambah sebesar 3 cm. Misalkan Erik mempunyai 6 buku, maka tinggi total tumpukkan buku tersebut adalah ...
23
20
19
17
15
7. Seorang wibu kronis sedang maraton anime kesukaannya. Hari pertama ia menonton sampai 3 episode dan seterusnya bertambah 2 kali lipat dari hari sebelumnya. Jika ia maraton sampai 10 hari, maka berapakah total episode anime yang telah ia tonton?
21
386
768
1536
3072
8. Seorang youtuber mendapatkan gaji tahun pertama dari adsense youtubenya sebesar Rp $ 2.000.000,00 $. Setiap tahun gajinya bertambah sebesar Rp $ 500.000,00 $. Jumlah uang yang diterima youtuber tersebut selama 5 tahun ialah ...
Rp $ 16.000.000,00 $
Rp $ 15.000.000,00 $
Rp $ 14.000.000,00 $
Rp $ 13.000.000,00 $
Rp $ 12.000.000,00 $
9. Seorang mahasiswa pada saat ia memulai kuliah di semester pertamanya mendapatkan IP $ 3.0 $. Jika setiap semester, IP mahasiswa tersebut secara konstan bertambah sebesar $ 0.05 $. Maka berapakah IP mahasiswa tersebut saat ia berada di semester 7?
$ 3.10 $
$ 3.15 $
$ 3.20 $
$ 3.25 $
$ 3.30 $
10. Seutas pita dibagi menjadi 10 bagian dengan panjang yang membentuk barisan aritmetika. Jika panjang dari pita terpendek adalah $ 20 $ cm dan yang terpanjang adalah $ 65 $ cm, maka panjang pita semula adalah ...
$ 400 $ cm
$ 425 $ cm
$ 450 $ cm
$ 475 $ cm
$ 500 $ cm